TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $K$.
Đồng biến (tăng) trên $K$: khi $x$ tăng thì $y$ cũng tăng. Với mọi $x_1, x_2 \in K$: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$
Nghịch biến (giảm) trên $K$: khi $x$ tăng thì $y$ giảm. Với mọi $x_1, x_2 \in K$: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$
Ghi nhớ hình ảnh: đồ thị đi lên (từ trái sang phải) → đồng biến; đồ thị đi xuống → nghịch biến.
Đây là kiến thức quan trọng nhất, gần như mọi câu hỏi đều xoay quanh định lý này.
Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $K$:
| Dấu của $f'(x)$ trên $K$ | Kết luận |
| $f'(x) > 0$ với mọi $x \in K$ | $f(x)$ đồng biến trên $K$ |
| $f'(x) < 0$ với mọi $x \in K$ | $f(x)$ nghịch biến trên $K$ |
| $f'(x) = 0$ với mọi $x \in K$ | $f(x)$ không đổi (hàm hằng) trên $K$ |
Lưu ý quan trọng (mức vận dụng): nếu $f'(x) \geq 0$ trên $K$ và $f'(x) = 0$ chỉ tại hữu hạn điểm cô lập, thì $f(x)$ vẫn đồng biến trên $K$. Tương tự với nghịch biến ($f'(x) \leq 0$).
Quy trình làm bài cần thuộc lòng:
Tìm tập xác định $D$.
Tính đạo hàm $f'(x)$. Tìm các điểm mà $f'(x) = 0$ hoặc $f'(x)$ không xác định.
Lập bảng biến thiên: sắp xếp các điểm tìm được theo thứ tự tăng dần, xét dấu $f'(x)$ trên từng khoảng.
Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến dựa vào dấu $f'(x)$.
Bảng biến thiên gồm 2 dòng: dòng giá trị $x$ (tăng dần từ trái sang phải) và dòng dấu $f'(x)$ cùng chiều biến thiên của $f(x)$ (ghi 'Tăng' khi đồng biến, 'Giảm' khi nghịch biến, thể hiện bằng mũi tên chéo trong vở).
Cách đọc bảng biến thiên (kỹ năng bắt buộc):
Dấu + → mũi tên đi lên (đồng biến); dấu - → mũi tên đi xuống (nghịch biến).
Khoảng đồng biến/nghịch biến viết dưới dạng khoảng mở, lấy các mốc $x$ làm hai đầu.
Tại các điểm $f'(x)$ đổi dấu, đó chính là điểm cực trị.
Tại điểm $x_0$, nếu $f'(x)$ đổi dấu khi $x$ đi qua $x_0$:
| $f'(x)$ đổi dấu | Kết luận tại $x_0$ |
| Từ + sang – (đồng biến → nghịch biến) | $x_0$ là điểm cực đại, $f(x_0)$ là giá trị cực đại |
| Từ – sang + (nghịch biến → đồng biến) | $x_0$ là điểm cực tiểu, $f(x_0)$ là giá trị cực tiểu |
| Không đổi dấu | $x_0$ không phải điểm cực trị. |
Nhận biết trên đồ thị:
Điểm cực đại: đồ thị đi lên rồi đi xuống → đỉnh 'lồi lên' (như đỉnh núi).
Điểm cực tiểu: đồ thị đi xuống rồi đi lên → đáy 'lõm xuống' (như đáy thung lũng).
Xét tính đơn điệu của hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$.
Bước 1: $D = \mathbb{R}$
Bước 2: $y' = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$. Giải $y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.
Bước 3: Bảng biến thiên:
| $x$ | $-\infty$ | $0$ | $2$ | $+\infty$ | ||
| $y'$ | + | $0$ | - | $0$ | + | |
| $y$ | Tăng | CĐ | Giảm | CT | Tăng |
Bước 4: Kết luận:
Hàm số đồng biến trên $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$
Hàm số nghịch biến trên $(0; 2)$
$x = 0$ là điểm cực đại; $x = 2$ là điểm cực tiểu (vì $f'$ đổi dấu tương ứng)
Cho hàm số (biểu thức) → xét tính đơn điệu: áp dụng đúng quy trình 4 bước ở mục 3.
Cho bảng biến thiên có sẵn → đọc khoảng đồng biến/nghịch biến, xác định cực trị: chỉ cần đọc dấu mũi tên.
Cho đồ thị hàm số → nhận biết khoảng đồng biến/nghịch biến: nhìn đoạn đồ thị đi lên/đi xuống, xác định hoành độ hai đầu đoạn đó.
Cho đồ thị của hàm $y = f'(x)$ (không phải $f(x)$) → suy ra tính đơn điệu của $f(x)$: xét dấu $f'(x)$ dựa vào đồ thị nằm trên/dưới trục hoành, từ đó lập bảng biến thiên của $f(x)$.
Dạng 4 là dạng dễ nhầm lẫn nhất — cần phân biệt rõ đồ thị của $f$ và đồ thị của f'.
Nhầm giữa đồ thị của $f(x)$ và đồ thị của $f'(x)$ khi bài cho đồ thị đạo hàm.
Viết khoảng đơn điệu bằng ngoặc vuông $[a;b]$ thay vì ngoặc tròn $(a;b)$ — khoảng đồng biến/nghịch biến là khoảng mở.
Kết luận điểm mà $f'(x) = 0$ luôn là cực trị — sai, phải kiểm tra $f'(x)$ có đổi dấu qua điểm đó hay không.
Quên xét tập xác định trước khi tính đạo hàm (đặc biệt với hàm phân thức, hàm căn).
$f'(x) > 0$ → đồng biến | $f'(x) < 0$ → nghịch biến
Cực trị = điểm $f'(x)$ đổi dấu
Quy trình: Tập xác định → Đạo hàm → Bảng biến thiên → Kết luận
Đọc bảng biến thiên/đồ thị: mũi tên lên = đồng biến, mũi tên xuống = nghịch biến, đỉnh = cực đại, đáy = cực tiểu